利用一副小学生常用的三角尺，能画出165°的角吗？

官方教师用书上给的标准答案里，并没有这个选项，那么，是相信答案，还是大胆质疑并探索求证？

近日，四川天府新区华阳小学两名四年级学生成功推翻官方用书上的标准答案，并给新世纪小学教材（北师大版）编写组（下文简称：教材编写组）发去了邮件，并收到了编写组的回信。

回信中，教材编写组肯定了两名学生敢于质疑的探究精神和严谨的态度，同时表示，在教材修订时，会采纳他们的建议。

用一副三角尺画角

官方标准答案唯独少了165°

10月14日，华阳小学四（6）班，上午第一节数学课。

数学老师黄敏正带领孩子们完成27页最后一道练习题：利用一副三角尺，你能画出哪些不同角度的角？

教材中的练习题原题

这是一道拓展题，鼓励学生大胆尝试，先独立地摆一摆、画一画，再交流方法。

孩子们拿出三角尺动手画起来，纷纷给出了自己的答案。

黄敏并没有止步于此，她带领孩子们，一起归纳了方法。要给孩子们结构化的思维方式，而不是点状的。

就传统思路而言，方法和答案有这么几种：

第一种是三角尺上本来就有的，如30°、45°、60°和90°；

第二种是把两个三角尺的角拼起来，可以得到75°、105°、120°、135°和150°。

第三种是把两个三角尺重叠起来，如45°和30°重叠在一起，就是15°。

在总结方法后，黄敏引导孩子们从小到大，对这些角进行了排序。

很快，大家发现了一个有趣的现象，这些角度是有规律的，从15°开始，依次增加15°，一直到180°，但是中间好像唯独缺少了165°。

正在这时，班上的米之贤同学举手了，并特别激动地说：老师，两个三角形重叠，可以画出165°的角。

我当时都是懵的，我也不能确定。黄敏表示，在备课时，数学教师用书上的答案，并没有165°。

官方用书中给出的标准答案，没有165°这个答案

不过她鼓励孩子们：可以质疑答案，没人会嘲笑你们，不要怕，大胆说出来，也许是一个重大发现。

黄老师把米之贤邀请上讲台做了展示，米之贤先是把矮胖三角尺（等腰直角三角形）45°的一条边和瘦长三角尺60°的一条边重合，在右上方，就出现了一个钝角。米之贤用量角器测量了一下，果真是165°！

我是在画15°角的时候，无意中发现的。米之贤说。

但是，从数学论证的严谨性而言，要确定这个角就是165°，光靠量角器还不行，必须通过科学的方法去计算，去证明这个角就是165°。因此，下课铃响后，黄敏鼓励孩子们继续思考。

带着这个问题，班上的廖钧宇开始琢磨起来，终于在放学之前，成功计算出这个角就是165°。

廖钧宇说，要求出这个角a的度数，可以和它旁边的角1产生联系，角1又在小三角形里面，前一课学过三角形内角和是180°。于是，先算出角3=180°-45°=135°，又知道角2=30°，所以角1=180°-135°-30°=15°，那么角a=180°-15°=165°。

孩子们的角度计算方法示意

也就是说，官方用书中给出的标准答案，确实漏了165°这个答案。

教材编写组回信：

欣赏你们勤学好问、勇于探索的精神

黄敏被孩子们的探索精神所感动，在她的建议下，米之贤和廖钧宇给教材编写组写了一封邮件，详细说明了发现的问题，还给出自己的建议：

这道题的答案里面是不是应该加上165°呢？如果考虑到165°确实有点难得到的话，可不可以添上一句话‘还有更多的答案，等着小朋友去探索哟’。这样就有很多小朋友像我们一样探索起来。

非常欣赏你们这种勤学好问、勇于探索的精神，特向你们回信表示感谢。10月18日，教材编写组给两位同学回了信。在教材修订时，会采纳两人的建议并及时修订。

米之贤和廖钧宇在交流三角尺的摆法

附教材编写组的回信原文——

亲爱的米之贤、廖钧宇两位同学：

你们好！很高兴收到你们的邮件，你们在邮件中认真详细地说明了在教书教学用书中发现的问题，这种敢于质疑的探究精神和严谨的态度真让我们感动！

关于你们在信中提到的教材四年级上册第27页第6题答案的问题，编写组的叔叔阿姨们已经将你们的问题和建议记录下来，在教材修订时会采纳你们的建议并及时进行修订。

数学源于生活，又应用于生活，你们在用数学的眼光观察着这个世界。编写组的叔叔阿姨们非常欣赏你们这种勤学好问、勇于探索的精神，特向你们回信表示感谢，并奖励你们一个新世纪小学数学平台的学习账号，希望你们能够继续保持这种学习数学的态度。

祝你们学习进步，生活快乐！

你们的编者大朋友

2022年10月18日

杜玉飞 红星新闻记者 许雯

图据天府教育发布

编辑 成序

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网友看法

1、网友种花杂谈：一副三角板当然可以画出15°角的任何倍数，165°也不例外。但两个小学生能够深钻进去，利用一副三角板直接拼出165°的角，还能给予证明，真是难能可贵。少年强则国强!

2、网友微覌視界：小学教材的话不足为奇，165度并非做不出，也并非编委不清楚，而是小学的知识点不涉及，无法证明，学生们只是量出来这是165，但如何证明呢？老师怎么给学生讲呢？ 只能说老师自身备课不足，居然还懵了。

3、网友柠都人新鲜事：老师的教学用书没有，老师就不知道，可见老师的素质有多高

4、网友夕颜如尘：90+45+30=165怎么不行？

5、网友一颗爱吃肉的草草：不是答案没写全，而是这是低龄段的简单几何。小朋友能发散思维，大胆尝试，而老师没有马上否定，而是一起探索，并鼓励孩子们求知，这就是一个好老师，一堂好课程。希望多一些这样的老师，去引导孩子大胆发现，而不是照本宣科。特别是语文课，美术课之类的课程。

6、网友半打卤鸡蛋12138：你们别觉得没啥。对于小学四年级，这个拼接方法和寻找出来角的位置，属实刁钻。而且他的证明，需要用到初中的一条定理：三角形一个角的补角，等于另外两个角之和。也就是说小学4年级，证明了初中（应该是初二）的定理。

7、网友物理不老舟：这小学数学老师不怎么样！这样简单得很的答案还需要什么严谨的推理？

8、网友秋上楸树：看来教小学数学，不需要太高的数学能力。

9、网友小逗逼影视：第一自然段教书教学用书？？？是什么意思呢

10、网友自由生活体验者：我都想出来了，二个带15度的三角尺，用15度的地方拼，余下的地方就是165度！

11、网友书魂剑魄：一副三角尺是指两个三角尺吗？

12、网友防水堵漏越堵越漏：人教版：是你们记错了，不是我印错了

13、网友昆仑传说：敢于质疑教材推翻教材的错误结论才是真正的好学生！

14、网友外向橙子GQ：都是外行在评论，你们以为编委不知道有165度？我近三十年的经验告诉你们，这个属于拓展，不是应知应会的，只是小孩的建议很好而已。

15、网友才哥wdc：能得到15度当然就可以得到165度，15加165不就是180吗？

16、网友芷兰：这小学数学老师不怎么样！这样简单得很的答案还需要什么严谨的推理？

17、网友喜好科学的胖子：其实还能画出很多度数的角，比如说利用边长关系加上旋转。这个问题要深究就得学高斯当年是怎么把一个圆17等分的

18、网友微笑咖啡SF：有15度 不就有165度了？

19、网友奔跑的蜗牛131302143：肯定是可以啥，165=90+60+I5

20、网友数学习题爱好者：对于一个小学生能拓展出165确实是值得鼓励，相对而言他的数学老师拿到165这个答案的反应又显得业务不精了